把离散数列和幂级数一 一对应起来把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系最后由幂级数形式来确定离散数列的构造

以上三句话是dalao总结的精髓

然后介绍一下定义：

对于任意数列

 

 

即用如下方法与一个函数联系起来：

则称G(x)是数列的生成函数

为了便于理解这个东西，下面给出几种典型应用：

使用母函数求出斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列的生成函数：G(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+8x6...等式两边同时*x有：xG(x)=x2+x3+2x4+3x5+5x6+8x7+...相加有：G(x)+xG(x)=x+2x2+3x3+5x4+8x5+13x6+...G(x)+xG(x)=G(x)/x-1所以我们可以得到:G(x)=x/(1-x-x2)然后用数学方法可以求得：Fib(n)=1/√5[bn+1-an+1]

若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

用x的指数表示称出的重量1个1克的砝码可以用函数1+x表示(前面的这个1表示1克的砝码个数为0)1个2克的砝码可以用函数1+x^2表示1个3克的砝码可以用函数1+x^3表示1个4克的砝码可以用函数1+x^4表示那么几种砝码的组合情况的用乘积表示有(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10系数即为方案数

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数？

邮票可以重复G(x)=(1+x+x^2+....)(1+x^2+x^4+....)(1+x^3+x^6+...)展开之后的系数就是方案数了

重为a1,a2,a3.....ak的砝码，如何放在天平的两端，求可称重量为n的物体的不同方式

记可称重量为n的物体的不同方式为Cn它的母函数为：G(x)=(x^(-a1)+1+x^a1)(x^(-a2)+1+x^a2).........(x^(-ak)+1+x^ak)x^(-a1)表示砝码a1和物体放在同一个托盘内x^a1表示砝码和物体放在不同的托盘内1则为不用这个砝码

重为a1,a2,a3....ak的砝码，如只可以放在天平的一端，求可称重量为n的物体的不同方式

记可称重量为n的物体的不同方式为CnG(x)=(1+x^a1)(1+x^a2).........(1+x^ak)

数的划分，将整数分解为若干个整数

假设1出现的次数为记为a1,2出现的次数记为a2.........k出现的次数记为akG(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+.....)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)(1+x^3+x^6+x^9+....)........(1+xn)1+x^2+x^4+x^6+x^8的意思是：当出现一个2时为x^2，当出现两个2时为x^4

数的划分问题在算系数的时候往往结合五边形数定理，具体见上一篇博文

典型例题是HDU1085，给你cnt1个一元硬币，cnt2个两元硬币，cnt3个五元硬币，问不能凑出来的第一个面额是多少

公式为 

(1+x+x^2+x^3+.........x^cnt1)∗(1+x^2+x^4+x^6+.........x^cnt2)∗(1+x^5+x^10+x^15+............x^cnt5)

处理完了之后这道题就变成了一道模拟题

1 #include
     
       2 #include
      
        3 const int maxn=1e4+5; 4 int mmax; 5 int c1[maxn],c2[maxn]; 6 int cnt[5],val[5]={
   1,2,5}; 7 int main() 8 { 9     while(scanf("%d%d%d",&cnt[0],&cnt[1],&cnt[2])==3&&(cnt[0]||cnt[1]||cnt[2]))10     {11         memset(c1,0,sizeof(c1));12         memset(c2,0,sizeof(c2));13         mmax=0;14         for(int i=0;i<3;i++)15             mmax+=cnt[i]*val[i];16         for(int i=0;i<=cnt[0];i++) c1[i]=1;17         for(int i=1;i<3;i++)18         {19             for(int j=0;j<=mmax;j++)20             {21                 if(c1[j]!=0)22                 {23                     for(int k=0;k<=val[i]*cnt[i];k+=val[i])24                     {25                         if(j+k<=mmax) c2[j+k]+=c1[j];26                     }27                 }28             }29             memcpy(c1,c2,sizeof(c1));30             memset(c2,0,sizeof(c2));31         }32         int i;33         for(i=0;i<=mmax;i++)34             if(c1[i]==0) break;35         printf("%d\n",i);36     }37     return 0;38 }